Wysokość w trójkącie prostokątnym to jedno z tych pojęć, które często pojawia się w zadaniach, a jednocześnie potrafi sprawiać kłopot. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest wysokość, jakie ma własności w trójkącie prostokątnym i jak korzystać ze wzorów, aby ją obliczyć. Na końcu znajdziesz prosty kalkulator, który pomoże Ci przećwiczyć obliczenia.
Co to jest wysokość w trójkącie?
Wysokość w trójkącie to odcinek:
- poprowadzony z wierzchołka trójkąta
- prostopadle (pod kątem prostym) do przeciwległego boku (lub jego przedłużenia).
Ten bok, na który spada wysokość, nazywamy podstawą. Zapisujemy to zazwyczaj tak:
- \(h_a\) – wysokość opuszczona na bok \(a\)
- \(h_b\) – wysokość opuszczona na bok \(b\)
- \(h_c\) – wysokość opuszczona na bok \(c\).
W każdym trójkącie istnieją trzy wysokości (czasem jedna lub dwie z nich wypadają poza trójkąt, ale zawsze da się je narysować).
Trójkąt prostokątny – oznaczenia
Rozważmy klasyczny trójkąt prostokątny:
- wierzchołki: \(A\), \(B\), \(C\)
- kąt prosty w wierzchołku \(C\)
- boki:
- \(a\) – bok naprzeciwko wierzchołka \(A\)
- \(b\) – bok naprzeciwko wierzchołka \(B\)
- \(c\) – bok naprzeciwko wierzchołka \(C\) (czyli przeciwprostokątna).
W takim układzie:
- boki \(a\) i \(b\) to przyprostokątne
- bok \(c\) to przeciwprostokątna
- kąt przy wierzchołku \(C\) ma \(90^\circ\).
Wysokości w trójkącie prostokątnym – które są które?
W trójkącie prostokątnym występują trzy wysokości, ale dwie z nich są w praktyce „ukryte” w bokach trójkąta:
- Wysokość na przyprostokątną – jeśli za podstawę weźmiemy jedną przyprostokątną, to wysokością będzie po prostu druga przyprostokątna, ponieważ kąt między nimi jest prosty.
- Wysokość na przeciwprostokątną – to ta, która zwykle pojawia się w zadaniach. Jest opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną i znajduje się wewnątrz trójkąta.
Podsumujmy to w tabeli (trójkąt prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(C\)):
| Podstawa | Wysokość | Relacja w trójkącie prostokątnym |
|---|---|---|
| \(a\) (przyprostokątna) | \(h_a\) | \(h_a = b\) |
| \(b\) (przyprostokątna) | \(h_b\) | \(h_b = a\) |
| \(c\) (przeciwprostokątna) | \(h_c\) | \(h_c = \dfrac{a \cdot b}{c}\) |
Najważniejszy i najciekawszy jest wzór na wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną, czyli \(h_c\).
Wzór na wysokość w trójkącie prostokątnym (na przeciwprostokątną)
Załóżmy, że znamy długości przyprostokątnych \(a\) i \(b\). Trójkąt prostokątny ma wtedy pole:
\[ P = \frac{a \cdot b}{2}. \]
Jeśli jako podstawę przyjmiemy przeciwprostokątną \(c\), a wysokością będzie \(h_c\), to pole można także zapisać jako:
\[ P = \frac{c \cdot h_c}{2}. \]
Pole tego samego trójkąta nie może mieć dwóch różnych wartości, więc:
\[ \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2}. \]
Możemy skrócić obie strony równania przez \(\frac12\), otrzymując:
\[ a \cdot b = c \cdot h_c. \]
Teraz dzielimy obie strony przez \(c\):
\[ h_c = \frac{a \cdot b}{c}. \]
To jest podstawowy wzór na wysokość w trójkącie prostokątnym opuszczoną na przeciwprostokątną.
Co, jeśli nie znamy przeciwprostokątnej \(c\)?
Jeśli zadanie podaje tylko przyprostokątne \(a\) i \(b\), możemy obliczyć przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow c = \sqrt{a^2 + b^2}. \]
Po wstawieniu do wzoru na wysokość:
\[ h_c = \frac{a \cdot b}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \]
Ten zapis jest często wygodny, gdy w zadaniu mamy dane tylko przyprostokątne.
Wysokości na przyprostokątne – najprostszy przypadek
W trójkącie prostokątnym kąt między przyprostokątnymi ma \(90^\circ\). Oznacza to, że każda z przyprostokątnych jest prostopadła do drugiej. Z definicji wysokości:
- wysokość na bok \(a\) to odcinek prostopadły do \(a\)
- wysokość na bok \(b\) to odcinek prostopadły do \(b\).
Dlatego:
- gdy za podstawę przyjmiemy bok \(a\), to wysokością jest bok \(b\): \(\;h_a = b\)
- gdy za podstawę przyjmiemy bok \(b\), to wysokością jest bok \(a\): \(\;h_b = a\).
To prosta, ale bardzo przydatna obserwacja. Część zadań polega jedynie na zrozumieniu, że „wysokość” w trójkącie prostokątnym bywa po prostu innym bokiem trójkąta.
Podsumowanie najważniejszych wzorów
W trójkącie prostokątnym z przyprostokątnymi \(a\), \(b\) i przeciwprostokątną \(c\):
- twierdzenie Pitagorasa:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] - wysokość na przeciwprostokątną:
\[ h_c = \frac{a \cdot b}{c} \quad \text{lub} \quad h_c = \frac{a \cdot b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] - wysokości na przyprostokątne:
\[ h_a = b, \quad h_b = a. \]
Przykład 1 – obliczanie wysokości na przeciwprostokątną z podanych przyprostokątnych
Zadanie: Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(a = 3 \text{ cm}\) i \(b = 4 \text{ cm}\). Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.
Krok 1. Obliczenie przeciwprostokątnej
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}. \]
Krok 2. Zastosowanie wzoru na wysokość
Teraz korzystamy ze wzoru:
\[ h_c = \frac{a \cdot b}{c}. \]
Podstawiamy liczby:
\[ h_c = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2{,}4 \text{ cm}. \]
Odpowiedź: Wysokość na przeciwprostokątną ma długość \(2{,}4 \text{ cm}\).
Przykład 2 – wysokość, gdy znasz pole i podstawę
Czasem w zadaniu możesz mieć dane pole trójkąta i jedną z jego podstaw. Wtedy nie trzeba używać twierdzenia Pitagorasa – wystarczy wzór na pole trójkąta.
Zadanie: Pole trójkąta prostokątnego wynosi \(P = 30 \text{ cm}^2\). Przeciwprostokątna ma długość \(c = 10 \text{ cm}\). Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.
Krok 1. Skorzystaj ze wzoru na pole
Pole trójkąta wyrażone przez podstawę \(c\) i wysokość \(h_c\):
\[ P = \frac{c \cdot h_c}{2}. \]
Podstawiamy dane:
\[ 30 = \frac{10 \cdot h_c}{2}. \]
Krok 2. Rozwiązanie równania
\[ 30 = \frac{10 \cdot h_c}{2} = 5 \cdot h_c. \]
Dzielimy obie strony przez 5:
\[ h_c = \frac{30}{5} = 6 \text{ cm}. \]
Odpowiedź: Wysokość na przeciwprostokątną ma długość \(6 \text{ cm}\).
Przykład 3 – wysokość na przyprostokątną
Zadanie: Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(a = 5 \text{ cm}\) i \(b = 12 \text{ cm}\). Znajdź wysokość opuszczoną na bok \(b\).
Rozwiązanie
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są do siebie prostopadłe, więc:
\[ h_b = a. \]
Stąd:
\[ h_b = 5 \text{ cm}. \]
Nie musimy wykonywać żadnych skomplikowanych obliczeń – wystarczy zrozumienie, że wysokość na przyprostokątną jest po prostu drugą przyprostokątną.
Typowe zadania i jak do nich podejść
Poniżej zestawienie typowych schematów zadań związanych z wysokością w trójkącie prostokątnym oraz wskazówki, jak je rozwiązywać.
| Co jest dane? | Czego szukamy? | Jakiego wzoru użyć? |
|---|---|---|
| Przyprostokątne \(a, b\) | Wysokość na przeciwprostokątną \(h_c\) | Najpierw \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), potem \(h_c = \dfrac{a \cdot b}{c}\) lub od razu \(h_c = \dfrac{a \cdot b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) |
| Przyprostokątna \(a\), przeciwprostokątna \(c\) | Wysokość na przeciwprostokątną \(h_c\) | Najpierw druga przyprostokątna: \(b = \sqrt{c^2 – a^2}\), potem \(h_c = \dfrac{a \cdot b}{c}\) |
| Pole \(P\), przeciwprostokątna \(c\) | Wysokość na przeciwprostokątną \(h_c\) | \(P = \dfrac{c \cdot h_c}{2} \Rightarrow h_c = \dfrac{2P}{c}\) |
| Przyprostokątne \(a, b\) | Wysokość na przyprostokątną \(a\) lub \(b\) | \(h_a = b,\quad h_b = a\) |
Ćwiczenie samodzielne
Spróbuj samodzielnie rozwiązać poniższe zadanie (odpowiedź możesz sprawdzić kalkulatorem niżej):
Zadanie: W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość \(a = 6 \text{ cm}\) i \(b = 8 \text{ cm}\). Oblicz długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.
Wskazówki:
- Oblicz przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa.
- Zastosuj wzór \(h_c = \dfrac{a \cdot b}{c}\).
Prosty kalkulator: wysokość w trójkącie prostokątnym
Poniższy kalkulator obliczy wysokość na przeciwprostokątną \(h_c\) na podstawie podanych przyprostokątnych \(a\) i \(b\). Wzory, z których korzysta kalkulator, to:
- \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
- \(h_c = \dfrac{a \cdot b}{c}\).
Kalkulator wysokości na przeciwprostokątną
Zachęta do nauki: dla tych samych wartości \(a\) i \(b\), spróbuj ręcznie wykonać obliczenia krok po kroku, a dopiero potem porównać wynik z kalkulatorem. Dzięki temu utrwalisz zrozumienie wzorów, a nie tylko sam wynik.
Podsumowując, aby poradzić sobie z zadaniami na temat wysokości w trójkącie prostokątnym, warto zapamiętać trzy kluczowe fakty:
- Przyprostokątne są do siebie prostopadłe, więc wysokość na jedną przyprostokątną to po prostu druga przyprostokątna.
- Wysokość na przeciwprostokątną można wygodnie obliczyć ze wzoru \(h_c = \dfrac{a \cdot b}{c}\).
- Jeśli nie znasz przeciwprostokątnej, oblicz ją z twierdzenia Pitagorasa: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Opanowanie tych trzech punktów wystarczy, by swobodnie rozwiązywać większość zadań o wysokości w trójkącie prostokątnym.