Logarytmy są jednym z tych tematów w matematyce, które na początku wydają się „magiczne”, ale po zrozumieniu kilku podstawowych idei i wzorów stają się bardzo logiczne. Poniżej znajdziesz uporządkowane wytłumaczenie, jak działa logarytm, jakie są najważniejsze wzory na logarytmy oraz jakie typowe błędy pojawiają się przy działaniu na logarytmach.
Co to jest logarytm – intuicyjne wyjaśnienie
Najważniejsze jest zrozumienie definicji logarytmu. Logarytm to odpowiedź na pytanie:
„Do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę \(a\), żeby otrzymać \(b\)?”
Formalnie:
\[ \log_a b = x \quad \Longleftrightarrow \quad a^x = b \]
czyli:
- \(a\) – podstawa logarytmu (musi być dodatnia i różna od 1),
- \(b\) – argument logarytmu (musi być dodatni),
- \(x\) – wartość logarytmu.
Przykład:
- \(\log_2 8 = 3\), bo \(2^3 = 8\).
- \(\log_{10} 1000 = 3\), bo \(10^3 = 1000\).
- \(\log_3 1 = 0\), bo \(3^0 = 1\).
Warunki istnienia logarytmu (bardzo ważne!)
Logarytm \(\log_a b\) ma sens tylko wtedy, gdy:
- \(a > 0\),
- \(a \neq 1\),
- \(b > 0\).
To jeden z najczęstszych błędów – logarytm nie jest zdefiniowany dla argumentu \(\le 0\), ani dla podstawy ujemnej lub równej 1.
Najważniejsze wzory logarytmiczne
Poniższe wzory to „tablica zachowania” logarytmów. Dobrze jest je nie tylko znać, ale też rozumieć.
Wzory podstawowe
\[\log_a 1 = 0 \quad \text{(bo } a^0 = 1 \text{)}\]
\[\log_a a = 1 \quad \text{(bo } a^1 = a \text{)}\]
Logarytm iloczynu
\[\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\]
Interpretacja: logarytm z iloczynu to suma logarytmów.
Przykład:
\[\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5\]
Sprawdzenie: \(8 \cdot 4 = 32\), a rzeczywiście \(2^5 = 32\), więc \(\log_2 32 = 5\).
Logarytm ilorazu
\[\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y\]
Interpretacja: logarytm z ilorazu to różnica logarytmów.
Przykład:
\[\log_{10} \left(\frac{1000}{10}\right) = \log_{10} 1000 – \log_{10} 10 = 3 – 1 = 2\]
Sprawdzenie: \(\frac{1000}{10} = 100\), a \(10^2 = 100\), więc \(\log_{10} 100 = 2\).
Logarytm potęgi
\[\log_a \left(x^k\right) = k \cdot \log_a x\]
Interpretacja: wykładnik potęgi „schodzi” przed logarytm jako czynnik.
Przykład:
\[\log_3 (9^2) = \log_3 81 = \log_3 (3^4) = 4 \quad \text{(bo } 3^4 = 81\text{)}\]
Według wzoru:
\[\log_3 (9^2) = 2 \cdot \log_3 9 = 2 \cdot \log_3 (3^2) = 2 \cdot 2 = 4\]
Zmiana podstawy logarytmu
W praktyce bardzo ważny wzór, zwłaszcza przy obliczeniach na kalkulatorze:
\[\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\]
Najczęściej wybieramy \(c = 10\) (logarytm dziesiętny) lub \(c = e\) (logarytm naturalny), bo takie klawisze są na kalkulatorze.
Przykład (użycie logarytmu dziesiętnego):
\[\log_2 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 2}\]
To działanie możesz wykonać na zwykłym kalkulatorze, pamiętając, że \(\log\) oznacza zwykle \(\log_{10}\), a \(\ln\) – \(\log_e\).
Podsumowanie najważniejszych wzorów w tabeli
| Rodzaj wzoru | Postać ogólna | Krótki opis |
|---|---|---|
| Definicja | \(\log_a b = x \iff a^x = b\) | Logarytm to wykładnik potęgi |
| Logarytm 1 | \(\log_a 1 = 0\) | Każda liczba do potęgi 0 daje 1 |
| Logarytm podstawy | \(\log_a a = 1\) | Każda liczba do potęgi 1 daje siebie |
| Iloczyn | \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\) | Logarytm iloczynu to suma |
| Iloraz | \(\log_a (x/y) = \log_a x – \log_a y\) | Logarytm ilorazu to różnica |
| Potęga | \(\log_a (x^k) = k \log_a x\) | Wykładnik schodzi przed logarytm |
| Zmiana podstawy | \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\) | Pozwala liczyć logarytmy na kalkulatorze |
Jak stosować wzory – krok po kroku
Przykład 1: uproszczenie wyrażenia
Uprość: \(\log_2 8 + \log_2 4\).
Krok 1. Rozpoznaj ten sam logarytm (ta sama podstawa): oba mają podstawę 2.
Krok 2. Zastosuj wzór na logarytm iloczynu:
\[\log_2 8 + \log_2 4 = \log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 32\]
Krok 3. Oblicz wartość logarytmu z definicji:
Szukamy takiego \(x\), że \(2^x = 32\). Wiemy, że \(2^5 = 32\), więc:
\[\log_2 32 = 5\]
Odpowiedź: \(\log_2 8 + \log_2 4 = 5\).
Przykład 2: logarytm ilorazu
Oblicz: \(\log_3 27 – \log_3 3\).
Krok 1. Ten sam logarytm (podstawa 3).
Krok 2. Zastosuj wzór na logarytm ilorazu:
\[\log_3 27 – \log_3 3 = \log_3 \left(\frac{27}{3}\right) = \log_3 9\]
Krok 3. Oblicz z definicji:
Wiemy, że \(9 = 3^2\), więc \(\log_3 9 = 2\).
Odpowiedź: \(\log_3 27 – \log_3 3 = 2\).
Przykład 3: logarytm potęgi
Uprość: \(\log_5 (25^3)\).
Krok 1. Rozpoznaj potęgę w argumencie logarytmu.
Krok 2. Zastosuj wzór na logarytm potęgi:
\[\log_5 (25^3) = 3 \cdot \log_5 25\]
Krok 3. Zauważ, że \(25 = 5^2\), więc:
\[\log_5 25 = \log_5 (5^2) = 2\]
Krok 4. Podstaw:
\[\log_5 (25^3) = 3 \cdot 2 = 6\]
Przykład 4: użycie zmiany podstawy
Oblicz w przybliżeniu: \(\log_2 7\) (zakładając, że masz zwykły kalkulator).
Używamy wzoru:
\[\log_2 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 2}\]
Na kalkulatorze:
- Oblicz \(\log 7 \approx 0{,}8451\),
- Oblicz \(\log 2 \approx 0{,}3010\),
- Policz iloraz: \(\dfrac{0{,}8451}{0{,}3010} \approx 2{,}808\).
Czyli \(\log_2 7 \approx 2{,}81\).
Prosty kalkulator logarytmów (zmiana podstawy)
Poniższy prosty kalkulator pomoże Ci policzyć \(\log_a b\) z wykorzystaniem wzoru na zmianę podstawy. Pamiętaj o warunkach: \(a > 0\), \(a \neq 1\), \(b > 0\).
Rozwiązywanie prostych równań logarytmicznych
Równania typu \(\log_a x = k\)
Jeśli mamy równanie:
\[\log_a x = k\]
to z definicji logarytmu równoważne jest to:
\[x = a^k\]
Przykład:
\[\log_3 x = 4 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 3^4 = 81\]
Równania z dwoma logarytmami
Przykład:
Rozwiąż: \(\log_2 x + \log_2 (x-2) = 3\).
Krok 1. Warunki dziedziny
- \(x > 0\) (argument pierwszego logarytmu),
- \(x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2\) (argument drugiego logarytmu).
Łącznie: \(x > 2\).
Krok 2. Zastosuj wzór na logarytm iloczynu
\[\log_2 x + \log_2 (x-2) = \log_2 [x(x-2)]\]
Równanie staje się:
\[\log_2 [x(x-2)] = 3\]
Krok 3. Przejdź do postaci wykładniczej
\[\log_2 [x(x-2)] = 3 \quad \Longleftrightarrow \quad x(x-2) = 2^3 = 8\]
Krok 4. Rozwiąż równanie kwadratowe
\[x^2 - 2x - 8 = 0\]
Rozwiązujemy:
- Delta: \(\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\),
- \(\sqrt{\Delta} = 6\),
- \(x_{1,2} = \dfrac{2 \pm 6}{2} = 4 \text{ lub } -2.\)
Krok 5. Sprawdź z dziedziną
- \(x = 4\) spełnia \(x > 2\),
- \(x = -2\) jest niedopuszczalne (argument logarytmu musiałby być ujemny).
Odpowiedź: \(x = 4\).
Ten przykład pokazuje, jak ważne jest pilnowanie dziedziny przy działaniu na logarytmach.
Typowe błędy w działaniu na logarytmach
Poniżej zebrano najczęstsze pułapki, w które wpadają uczniowie.
Błąd 1: Logarytm z liczby niedodatniej
Błędne wyrażenie:
\(\log_2 (-4)\) lub \(\log_2 0\).
Dlaczego błąd? Bo argument logarytmu musi być dodatni:
- \(\log_a b\) ma sens tylko dla \(b > 0\).
Intuicja: nie istnieje potęga liczby dodatniej \(a\), która da wartość ujemną lub 0.
Błąd 2: Zła podstawa logarytmu
Błędne wyrażenia:
- \(\log_1 5\),
- \(\log_{-2} 8\).
Dlaczego błąd?
- Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1: \(a > 0\), \(a \neq 1\).
Błąd 3: Mylenie wzoru na logarytm iloczynu
Typowy błąd:
\[\log_a (xy) = \log_a x \cdot \log_a y \quad \text{(NIEPRAWDA)}\]
Poprawny wzór to:
\[\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\]
Przykładowa „kontra”: dla \(a=10\), \(x=10\), \(y=10\):
- Lewa strona: \(\log_{10} (10 \cdot 10) = \log_{10} 100 = 2\),
- Prawa (błędna) strona: \(\log_{10} 10 \cdot \log_{10} 10 = 1 \cdot 1 = 1\).
Widać, że wyrażenia nie są równe.
Błąd 4: Złe użycie wzoru na logarytm potęgi
Typowy błąd:
\[\log_a (x^2) = (\log_a x)^2 \quad \text{(NIEPRAWDA)}\]
Poprawnie:
\[\log_a (x^2) = 2 \log_a x\]
Przykład porównawczy: niech \(a = 10\), \(x = 10\):
- Poprawnie: \(\log_{10} (10^2) = \log_{10} 100 = 2\).
- Błędnie: \((\log_{10} 10)^2 = 1^2 = 1\).
Błąd 5: Mieszanie podstaw logarytmów
Typowy błąd:
\[\log_2 x + \log_3 x = \log_5 x \quad \text{(NIEPRAWDA)}\]
Nie ma prostego wzoru łączącego logarytmy o różnych podstawach w jeden logarytm. Wzory na iloczyn, iloraz, potęgę wymagają tej samej podstawy.
Błąd 6: Pomijanie nawiasów
Porównaj:
- \(\log_2 (3x)\) – logarytm z iloczynu,
- \(\log_2 3x\) – bez dodatkowego kontekstu może być mylące (czy chodzi o \(\log_2 (3x)\), czy o \((\log_2 3)x\)?).
W praktyce w matematyce szkolnej zakłada się zwykle, że \(\log_2 3x = \log_2 (3x)\), ale zawsze warto stosować nawiasy, aby uniknąć nieporozumień.
Błąd 7: Zapominanie o dziedzinie przy rozwiązywaniu równań
Przykład (jak wyżej):
\[\log_2 x + \log_2 (x-2) = 3\]
Częsty błąd: uczeń rozwiązuje równanie kwadratowe, otrzymuje dwie liczby i obie przyjmuje jako rozwiązania, nie sprawdzając, czy są dopuszczalne (czy argumenty logarytmów są dodatnie).
Dlatego zawsze przy równaniach logarytmicznych:
- Najpierw wyznacz dziedzinę (co musi być > 0).
- Na końcu sprawdź, które pierwiastki należą do tej dziedziny.
Graficzne spojrzenie na logarytm
Aby lepiej zrozumieć, „jak zachowuje się” logarytm, warto spojrzeć na wykres funkcji logarytmicznej, np. \(y = \log_{10} x\).
- Definiowana tylko dla \(x > 0\),
- Przechodzi przez punkt \((1, 0)\), bo \(\log_{10} 1 = 0\),
- Przechodzi przez \((10, 1)\), bo \(\log_{10} 10 = 1\),
- Jest rosnąca (dla podstawy \(a > 1\)).
Jak uczyć się logarytmów w praktyce
Aby dobrze opanować działanie na logarytmach, warto:
- Ćwiczyć przechodzenie między zapisem logarytmicznym i wykładniczym, np. zamieniać \(\log_3 81 = 4\) na \(3^4 = 81\) i odwrotnie.
- Codziennie powtarzać
- Świadomie sprawdzać dziedzinę przy każdym równaniu logarytmicznym.
- Samodzielnie wyprowadzać
Im więcej sensownych przykładów zrobisz, tym łatwiej będzie Ci unikać typowych błędów w logarytmach.