Graniastosłup prawidłowy czworokątny to jedna z najczęściej spotykanych brył w geometrii przestrzennej – pojawia się w zadaniach szkolnych, egzaminach, a także w sytuacjach praktycznych (np. pudełka, słupy, zbiorniki). W tym tekście krok po kroku wyjaśniamy, czym jest ta bryła, jak wyglądają najważniejsze wzory oraz jak z nich korzystać w zadaniach.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny – definicja
Graniastosłup czworokątny to graniastosłup, którego podstawą jest czworokąt (np. prostokąt, kwadrat, równoległobok).
Graniastosłup prawidłowy czworokątny to szczególny przypadek: jego podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są prostokątami.
Możemy go sobie wyobrazić jako „wysunięty w górę” kwadrat, tworzący bryłę podobną do prostopadłościanu, ale z założeniem, że podstawa jest kwadratem.
- Podstawa: kwadrat o boku \(a\).
- Wysokość graniastosłupa: \(h\) (odległość między dwiema równoległymi podstawami).
- Ściany boczne: 4 prostokąty o wymiarach \(a \times h\).
Prosty schemat graniastosłupa (rysunek poglądowy)
Poniżej znajduje się prosty szkic graniastosłupa prawidłowego czworokątnego (rysunek jedynie poglądowy, nie w skali). Rysunek jest responsywny – powinien dobrze wyglądać także na telefonie.
Na rysunku:
- dolny kwadrat – dolna podstawa,
- górny „przesunięty” kwadrat – górna podstawa,
- odcinek z oznaczeniem \(a\) – bok podstawy,
- odcinek z oznaczeniem \(h\) – wysokość graniastosłupa.
Oznaczenia i podstawowe elementy bryły
W zadaniach z graniastosłupów warto trzymać się stałych oznaczeń – wtedy łatwiej korzystać ze wzorów.
- \(a\) – długość boku kwadratu w podstawie,
- \(h\) – wysokość graniastosłupa,
- \(P_p\) – pole podstawy (pole kwadratu),
- \(P_b\) – pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych),
- \(P_c\) – pole powierzchni całkowitej,
- \(V\) – objętość graniastosłupa,
- \(d_p\) – przekątna podstawy (kwadratu),
- \(D\) – przekątna całego graniastosłupa.
Wzory na graniastosłup prawidłowy czworokątny
Pole podstawy \(P_p\)
Podstawa jest kwadratem o boku \(a\), więc:
\[ P_p = a^2 \]
Pole powierzchni bocznej \(P_b\)
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma 4 ściany boczne – są to prostokąty o wymiarach \(a\) i \(h\).
- Pole jednej ściany bocznej: \(a \cdot h\),
- Cztery takie ściany: \(4 \cdot a \cdot h\).
\[ P_b = 4ah \]
Pole powierzchni całkowitej \(P_c\)
Pole powierzchni całkowitej to suma pola obu podstaw i wszystkich ścian bocznych:
\[ P_c = 2P_p + P_b \]
Po podstawieniu wzorów na \(P_p\) i \(P_b\):
\[ P_c = 2a^2 + 4ah \]
Objętość graniastosłupa \(V\)
Objętość każdego graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość:
\[ V = P_p \cdot h \]
W naszym przypadku \(P_p = a^2\), więc:
\[ V = a^2h \]
Przekątna podstawy \(d_p\)
Podstawa to kwadrat, więc przekątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:
\[ d_p^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \]
\[ d_p = a\sqrt{2} \]
Przekątna graniastosłupa \(D\)
Przekątna bryły biegnie z jednego wierzchołka dolnej podstawy do przeciwległego wierzchołka górnej podstawy. Tworzy trójkąt prostokątny z:
- przekątną podstawy \(d_p\),
- wysokością \(h\).
Z twierdzenia Pitagorasa:
\[ D^2 = d_p^2 + h^2 \]
Podstawiamy \(d_p^2 = 2a^2\):
\[ D^2 = 2a^2 + h^2 \]
\[ D = \sqrt{2a^2 + h^2} \]
Podsumowanie wzorów w tabeli
| Wielkość | Wzór | Opis |
|---|---|---|
| Pole podstawy \(P_p\) | \(P_p = a^2\) | Pole kwadratu w podstawie |
| Pole powierzchni bocznej \(P_b\) | \(P_b = 4ah\) | Suma pól 4 ścian bocznych |
| Pole powierzchni całkowitej \(P_c\) | \(P_c = 2a^2 + 4ah\) | Dwie podstawy i 4 ściany boczne |
| Objętość \(V\) | \(V = a^2h\) | Objętość bryły |
| Przekątna podstawy \(d_p\) | \(d_p = a\sqrt{2}\) | Przekątna kwadratu w podstawie |
| Przekątna bryły \(D\) | \(D = \sqrt{2a^2 + h^2}\) | Przekątna całego graniastosłupa |
Jak korzystać ze wzorów w praktyce?
W typowych zadaniach z graniastosłupów spotkasz m.in. polecenia:
- oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego,
- oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa,
- oblicz wysokość graniastosłupa, jeśli znasz objętość i krawędź podstawy,
- oblicz przekątną graniastosłupa.
Kluczem jest zawsze odpowiednie podstawienie do wzorów oraz uważne czytanie treści zadania: co jest dane, a czego szukamy.
Prosty kalkulator graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
Poniższy kalkulator pomoże Ci szybko obliczyć podstawowe wielkości graniastosłupa: pole podstawy, pole boczne, pole całkowite oraz objętość. Wystarczy, że wpiszesz długość boku podstawy \(a\) oraz wysokość \(h\).
Kalkulator: graniastosłup prawidłowy czworokątny
Przykładowe zadania z graniastosłupem prawidłowym czworokątnym
Zadanie 1. Objętość graniastosłupa
Treść:
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \(a = 5\ \text{cm}\) i wysokości \(h = 10\ \text{cm}\). Oblicz jego objętość.
Rozwiązanie krok po kroku:
- Zapisujemy wzór na objętość graniastosłupa:
\[ V = P_p \cdot h \]
Ponieważ podstawa to kwadrat:
\[ P_p = a^2 \]
czyli:
\[ V = a^2h \] - Podstawiamy dane:
\[ a = 5\ \text{cm},\quad h = 10\ \text{cm} \]
\[ V = 5^2 \cdot 10 = 25 \cdot 10 = 250\ \text{cm}^3 \]
Odpowiedź: Objętość graniastosłupa wynosi \(250\ \text{cm}^3\).
Zadanie 2. Pole powierzchni całkowitej
Treść:
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy \(a = 4\ \text{cm}\) i wysokość \(h = 7\ \text{cm}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku:
- Wzór ogólny:
\[ P_c = 2P_p + P_b \]
a dla naszego graniastosłupa:
\[ P_p = a^2,\quad P_b = 4ah \]
Stąd:
\[ P_c = 2a^2 + 4ah \] - Podstawiamy dane:
\[ a = 4\ \text{cm},\quad h = 7\ \text{cm} \]
Najpierw obliczamy \(P_p\) i \(P_b\):
\[ P_p = 4^2 = 16\ \text{cm}^2 \]
\[ P_b = 4 \cdot 4 \cdot 7 = 16 \cdot 7 = 112\ \text{cm}^2 \] - Teraz pole całkowite:
\[ P_c = 2 \cdot 16 + 112 = 32 + 112 = 144\ \text{cm}^2 \]
Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej wynosi \(144\ \text{cm}^2\).
Zadanie 3. Znajdowanie wysokości z objętości
Treść:
Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi \(V = 432\ \text{cm}^3\). Krawędź podstawy ma długość \(a = 6\ \text{cm}\). Oblicz wysokość \(h\) graniastosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku:
- Wzór na objętość:
\[ V = a^2h \] - Chcemy wyznaczyć \(h\), więc przekształcamy wzór:
\[ h = \frac{V}{a^2} \] - Podstawiamy dane:
\[ V = 432\ \text{cm}^3,\quad a = 6\ \text{cm} \]
Najpierw \(a^2\):
\[ a^2 = 6^2 = 36 \]
Teraz wysokość:
\[ h = \frac{432}{36} = 12\ \text{cm} \]
Odpowiedź: Wysokość graniastosłupa wynosi \(12\ \text{cm}\).
Zadanie 4. Przekątna graniastosłupa
Treść:
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy \(a = 3\ \text{cm}\) i wysokość \(h = 4\ \text{cm}\). Oblicz długość przekątnej graniastosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku:
- Najpierw przypominamy wzór na przekątną bryły:
\[ D = \sqrt{2a^2 + h^2} \] - Podstawiamy dane:
\[ a = 3\ \text{cm},\quad h = 4\ \text{cm} \]
Obliczamy:
\[ 2a^2 = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18 \]
\[ h^2 = 4^2 = 16 \]
\[ 2a^2 + h^2 = 18 + 16 = 34 \] - Przekątna:
\[ D = \sqrt{34}\ \text{cm} \approx 5{,}83\ \text{cm} \]
Odpowiedź: Przekątna graniastosłupa ma długość \(\sqrt{34}\ \text{cm} \approx 5{,}83\ \text{cm}\).
Jak podchodzić do zadań z graniastosłupów?
Aby sprawnie rozwiązywać zadania typu „zadania z graniastosłupów”, warto stosować poniższy schemat:
- Zrób rysunek – nawet prosty szkic z oznaczeniem \(a\), \(h\), ewentualnie przekątnych.
- Wypisz dane i szukane – na podstawie treści zadania.
- Dobierz odpowiednie wzory – np. na objętość, pole boczne, pole całkowite.
- Podstaw do wzoru – wyraźnie zapisując każdy krok.
- Sprawdź jednostki – czy wszystkie są zgodne (np. wszystko w cm lub wszystko w m).
- Zapisz odpowiedź słownie – to często wymagane na sprawdzianach i egzaminach.
Po kilku rozwiązanych przykładach zauważysz, że zadania z graniastosłupów opierają się ciągle na tych samych podstawowych wzorach i metodach. Najważniejsze to dobrze rozumieć, co oznaczają poszczególne wielkości i jak wygląda bryła w przestrzeni.