Wzór na deltę - jak obliczyć pierwiastki łatwo?

W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest delta w matematyce, jak wygląda wzór na deltę, jak obliczać deltę oraz jak z jej pomocą znaleźć pierwiastki równania kwadratowego. Po przeczytaniu będziesz umieć samodzielnie rozwiązywać proste równania kwadratowe metodą delty.

Równanie kwadratowe – przypomnienie

Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci

\( ax^2 + bx + c = 0 \), gdzie \( a \neq 0 \).

Litery \( a, b, c \) to współczynniki równania kwadratowego, a \( x \) to niewiadoma. Przykłady równań kwadratowych:

\( 2x^2 + 3x – 5 = 0 \) – tutaj \( a = 2, b = 3, c = -5 \),
\( x^2 – 4x + 4 = 0 \) – tutaj \( a = 1, b = -4, c = 4 \),
\( -3x^2 + 6x + 1 = 0 \) – tutaj \( a = -3, b = 6, c = 1 \).

Uwaga: jeśli przy \( x^2 \) nie ma liczby, to domyślnie jest tam \( 1 \), czyli np. \( x^2 = 1x^2 \).

Co to jest delta w matematyce?

Delta (oznaczana grecką literą \( \Delta \)) to tzw. wyróżnik równania kwadratowego. Jest to liczba, którą obliczamy z wzoru:

\[ \Delta = b^2 – 4ac. \]

Delta mówi nam, ile pierwiastków (rozwiązań) ma równanie kwadratowe oraz jak je obliczyć.

Wzór na deltę – jak obliczyć deltę krok po kroku?

Załóżmy, że mamy równanie kwadratowe

\( ax^2 + bx + c = 0 \).

Kroki obliczania delty:

Odczytaj współczynniki \( a, b, c \) z równania.
Podstaw je do wzoru na deltę: \(\Delta = b^2 – 4ac\).
Wykonaj działania (potęgowanie, mnożenie, odejmowanie).

Przykład 1: Obliczanie delty

Równanie: \( 2x^2 + 3x – 5 = 0 \).

Krok 1. Odczytujemy współczynniki:

\( a = 2 \),
\( b = 3 \),
\( c = -5 \).

Krok 2. Podstawiamy do wzoru:

\[ \Delta = b^2 – 4ac = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5). \]

Krok 3. Obliczamy:

\[
\begin{aligned}
\Delta &= 9 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) \\
&= 9 – 8 \cdot (-5) \\
&= 9 – (-40) \\
&= 9 + 40 \\
&= 49.
\end{aligned}
\]

Otrzymaliśmy \( \Delta = 49 \).

Wzory na pierwiastki równania kwadratowego

Gdy mamy już deltę, możemy obliczyć pierwiastki równania kwadratowego. Wzory na pierwiastki (rozwiązania) wyglądają tak:

\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.
\]

Znaczenie symboli:

\( x_1 \) – pierwszy pierwiastek,
\( x_2 \) – drugi pierwiastek,
\( \sqrt{\Delta} \) – pierwiastek kwadratowy z delty,
znak \( \pm \) oznacza „plus lub minus”, więc faktycznie są to dwa osobne wzory:
\[
x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.
\]

Różne przypadki delty – ile jest pierwiastków?

Znak delty (czyli to, czy jest dodatnia, równa zero czy ujemna) decyduje o liczbie rozwiązań równania kwadratowego.

Znak delty	Co to oznacza?	Liczba pierwiastków rzeczywistych	Opis
\( \Delta > 0 \)	Delta dodatnia	2	Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste: \(x_1\) i \(x_2\).
\( \Delta = 0 \)	Delta równa zero	1	Równanie ma jeden pierwiastek (podwójny): \(x_0\).
\( \Delta < 0 \)	Delta ujemna	0	Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma tylko zespolone).

Wzory na pierwiastki w zależności od delty

Jeśli \( \Delta > 0 \), to:
\[
x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.
\]
Jeśli \( \Delta = 0 \), to:
\[
x_0 = \frac{-b}{2a}.
\]
Jeśli \( \Delta < 0 \), to równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Przykład 2: Delta dodatnia – dwa pierwiastki

Równanie: \( 2x^2 + 3x – 5 = 0 \) (kontynuujemy przykład 1).

Wiemy już, że \( \Delta = 49 \), czyli \( \Delta > 0 \) – będą dwa pierwiastki.

Krok 1. Obliczamy pierwiastek z delty:

\[
\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7.
\]

Krok 2. Podstawiamy do wzorów na pierwiastki:

\[
x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 – 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2},
\]

\[
x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1.
\]

Odpowiedź: równanie \( 2x^2 + 3x – 5 = 0 \) ma dwa pierwiastki:
\[
x_1 = -\frac{5}{2}, \quad x_2 = 1.
\]

Przykład 3: Delta równa zero – jeden pierwiastek

Równanie: \( x^2 – 4x + 4 = 0 \).

Krok 1. Odczytujemy współczynniki:

\( a = 1 \),
\( b = -4 \),
\( c = 4 \).

Krok 2. Obliczamy deltę:

\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0.
\]

Delta jest równa 0, więc będzie jeden pierwiastek.

Krok 3. Używamy wzoru dla \( \Delta = 0 \):

\[
x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2.
\]

Odpowiedź: równanie \( x^2 – 4x + 4 = 0 \) ma jeden pierwiastek (podwójny) \( x_0 = 2 \).

Przykład 4: Delta ujemna – brak pierwiastków rzeczywistych

Równanie: \( x^2 + 2x + 5 = 0 \).

Krok 1. Współczynniki:

\( a = 1 \),
\( b = 2 \),
\( c = 5 \).

Krok 2. Obliczamy deltę:

\[
\Delta = b^2 – 4ac = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 – 20 = -16.
\]

Delta jest ujemna (\( \Delta < 0 \)), więc brak pierwiastków rzeczywistych. Oznacza to, że wykres paraboli nie przecina osi OX.

Kalkulator delty i pierwiastków równania kwadratowego

Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pozwoli Ci automatycznie obliczyć deltę i pierwiastki równania kwadratowego \( ax^2 + bx + c = 0 \). Wpisz współczynniki \( a, b, c \) i naciśnij przycisk.

a:

b:

c:

Prosty wykres funkcji kwadratowej

Aby lepiej zrozumieć, co robi delta, warto popatrzeć na wykres funkcji kwadratowej. Poniżej widzisz wykres funkcji \( y = x^2 – 1 \). To jest funkcja, której równanie kwadratowe ma deltę większą od zera (ma dwa pierwiastki – miejsca, w których wykres przecina oś OX).

Na ekranach telefonów wykres automatycznie dopasuje się szerokością do ekranu, dzięki czemu nadal jest czytelny.

Jak samodzielnie stosować wzór na deltę? – podsumowanie krok po kroku

Zapisz równanie w postaci ogólnej: \( ax^2 + bx + c = 0 \).
Odczytaj współczynniki \( a, b, c \).
Oblicz deltę ze wzoru:
\[
\Delta = b^2 – 4ac.
\]
Sprawdź znak delty:
- Jeśli \( \Delta > 0 \): dwa pierwiastki – użyj wzorów:
  \[
  x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.
  \]
- Jeśli \( \Delta = 0 \): jeden pierwiastek – użyj wzoru:
  \[
  x_0 = \frac{-b}{2a}.
  \]
- Jeśli \( \Delta < 0 \): brak pierwiastków rzeczywistych.
Wykonaj działania (pierwiastkowanie, dzielenie) i zapisz odpowiedź.

Znajomość wzoru na deltę i umiejętność jego zastosowania to jedna z podstawowych umiejętności w matematyce na poziomie szkoły podstawowej i średniej. Dzięki niej możesz rozwiązać większość zadań z równaniami kwadratowymi.