Logarytmy pojawiają się nie tylko w szkolnych zadaniach – stoją za skalą głośności (decybele), skalą trzęsień ziemi (Richtera) czy skalą pH w chemii. Żeby jednak swobodnie z nich korzystać, trzeba zrozumieć, czym są, znać podstawowe wzory logarytmiczne i umieć wykonać proste obliczenia.
Co to jest logarytm? Intuicyjne wyjaśnienie
Wyobraź sobie pytanie:
„Do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę 2, żeby otrzymać 8?”
Odpowiedź to oczywiście 3, bo:
\[ 2^3 = 8 \]
Logarytm właśnie na takie pytanie odpowiada. Logarytm z liczby 8 przy podstawie 2 zapisujemy jako:
\[ \log_{2} 8 = 3 \]
Czytamy to: „logarytm przy podstawie 2 z 8 równa się 3”.
Ogólna definicja:
\[ \log_{a} b = c \quad \Leftrightarrow \quad a^c = b \]
co czytamy: „logarytm przy podstawie \( a \) z liczby \( b \) jest równy \( c \), wtedy i tylko wtedy, gdy \( a^c = b \)”.
Warunki istnienia logarytmu
Nie z każdej liczby można wziąć logarytm. Obowiązują trzy ważne warunki:
- \( a > 0 \) – podstawa logarytmu musi być dodatnia,
- \( a \neq 1 \) – podstawa nie może być równa 1,
- \( b > 0 \) – liczba logarytmowana (ta „pod logarytmem”) też musi być dodatnia.
Jeżeli któryś z tych warunków nie jest spełniony, logarytm nie jest zdefiniowany (w liczbach rzeczywistych).
Podstawowe oznaczenia logarytmów
Najczęściej spotykane logarytmy to:
- logarytm dziesiętny – podstawa 10:
\[ \log_{10} x \quad \text{często zapisujemy po prostu jako} \quad \log x \]
- logarytm naturalny – podstawa \( e \approx 2{,}71828 \):
\[ \log_{e} x = \ln x \]
Najważniejsze wzory logarytmiczne (zależności logarytmów)
Poniżej zestaw najważniejszych wzorów, których warto się nauczyć. Każdy z nich później krótko wyjaśnimy i pokażemy na przykładach.
1. Definicja logarytmu
\[ \log_{a} b = c \quad \Leftrightarrow \quad a^c = b \]
2. Logarytm iloczynu
\[ \log_{a}(x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y \]
3. Logarytm ilorazu
\[ \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right) = \log_{a} x – \log_{a} y \]
4. Logarytm potęgi
\[ \log_{a}(x^{k}) = k \cdot \log_{a} x \]
5. Logarytm pierwiastka
Pierwiastek można potraktować jako potęgę o wykładniku ułamkowym:
\[ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \]
Stąd:
\[ \log_{a}\sqrt[n]{x} = \log_{a}\left(x^{\frac{1}{n}}\right) = \frac{1}{n} \log_{a} x \]
6. Zmiana podstawy logarytmu
Najważniejszy wzór praktyczny (zwłaszcza przy kalkulatorze):
\[ \log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} \]
Najczęściej wybieramy \( c = 10 \) (log dziesiętny) lub \( c = e \) (logarytm naturalny):
\[ \log_{a} b = \frac{\log b}{\log a} = \frac{\ln b}{\ln a} \]
7. Logarytm z 1 i logarytm podstawy z siebie samej
\[ \log_{a} 1 = 0 \quad \text{dla każdego } a > 0, a \neq 1 \]
\[ \log_{a} a = 1 \]
bo:
- \( a^0 = 1 \Rightarrow \log_{a} 1 = 0 \),
- \( a^1 = a \Rightarrow \log_{a} a = 1 \).
Wyjaśnienia wzorów krok po kroku
Logarytm iloczynu – dlaczego działa?
Załóżmy, że:
\[ \log_{a} x = p \quad \Rightarrow \quad a^p = x \]
\[ \log_{a} y = q \quad \Rightarrow \quad a^q = y \]
Wtedy:
\[ x \cdot y = a^p \cdot a^q = a^{p+q} \]
A z definicji logarytmu:
\[ \log_{a}(x \cdot y) = \log_{a}(a^{p+q}) = p + q = \log_{a} x + \log_{a} y \]
Przykład
Oblicz \(\log_{2}(8 \cdot 4)\).
- \( 8 \cdot 4 = 32 \).
- \( \log_{2} 8 = 3 \), bo \(2^3 = 8\).
- \( \log_{2} 4 = 2 \), bo \(2^2 = 4\).
- Używamy wzoru: \(\log_{2}(8 \cdot 4) = \log_{2} 8 + \log_{2} 4 = 3 + 2 = 5\).
- Sprawdzenie: \(2^5 = 32\).
Logarytm ilorazu – intuicja
Podobnie jak dla potęg:
\[ \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \]
Wynika z tego, że:
\[ \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right) = \log_{a} x – \log_{a} y \]
Przykład
Oblicz \(\log_{3}\left(\frac{27}{3}\right)\).
- \( \frac{27}{3} = 9 \).
- Wiemy, że \( \log_{3} 27 = 3 \), bo \(3^3 = 27\).
- \( \log_{3} 3 = 1 \), bo \(3^1 = 3\).
- \(\log_{3}\left(\frac{27}{3}\right) = \log_{3} 27 – \log_{3} 3 = 3 – 1 = 2\).
- Sprawdzenie: \(3^2 = 9\).
Logarytm potęgi – dlaczego wykładnik „spada przed logarytm”?
Jeżeli mamy:
\[ x^{k} = (a^{\log_{a} x})^{k} = a^{k \cdot \log_{a} x} \]
to z definicji logarytmu:
\[ \log_{a}(x^{k}) = k \cdot \log_{a} x \]
Przykład
Oblicz \(\log_{2}(8^{2})\).
- Najpierw obliczamy 8 jako potęgę dwójki: \(8 = 2^3\).
- Więc \(8^2 = (2^3)^2 = 2^{6}\).
- \(\log_{2}(8^2) = \log_{2}(2^6) = 6\).
- Możemy użyć też wzoru bezpośrednio: \(\log_{2}(8^2) = 2 \cdot \log_{2} 8 = 2 \cdot 3 = 6\).
Przykłady obliczania logarytmów krok po kroku
Przykład 1: prosty logarytm z definicji
Oblicz \(\log_{5} 25\).
- Szukamy takiego \(x\), że \(5^x = 25\).
- Wiemy, że \(25 = 5^2\), więc \(x = 2\).
\[ \log_{5} 25 = 2 \]
Przykład 2: logarytm liczby mniejszej niż 1
Oblicz \(\log_{10} 0{,}01\).
- 0,01 to \(10^{-2}\), bo \(10^{-2} = \frac{1}{10^2} = 0{,}01\).
- Szukaną liczbą jest wykładnik potęgi: \(\log_{10} 0{,}01 = -2\).
\[ \log_{10} 0{,}01 = -2 \]
Przykład 3: zastosowanie wzoru na logarytm iloczynu
Oblicz \(\log_{3} 81\), wiedząc, że \(81 = 9 \cdot 9\) i \(9 = 3^2\).
- \(81 = 9 \cdot 9\).
- Stosujemy wzór: \(\log_{3}(9 \cdot 9) = \log_{3} 9 + \log_{3} 9\).
- \(9 = 3^2 \Rightarrow \log_{3} 9 = 2\).
- Więc: \(\log_{3} 81 = 2 + 2 = 4\).
Sprawdzenie: \(3^4 = 81\).
Przykład 4: zastosowanie wzoru na zmianę podstawy
Oblicz \(\log_{2} 5\), używając logarytmów naturalnych (tak jak na kalkulatorze).
- Wzór na zmianę podstawy: \(\log_{2} 5 = \frac{\ln 5}{\ln 2}\).
- Na kalkulatorze (przybliżenia): \(\ln 5 \approx 1{,}6094\), \(\ln 2 \approx 0{,}6931\).
- \(\log_{2} 5 \approx \frac{1{,}6094}{0{,}6931} \approx 2{,}3219\).
Interpretacja: \(2^{2{,}3219} \approx 5\).
Typowe wartości logarytmów – mała tabela pomocnicza
Poniższa tabela zawiera kilka podstawowych wartości, które często przydają się w zadaniach.
| Wyrażenie | Wartość | Uzasadnienie |
|---|---|---|
| \(\log_{10} 1\) | 0 | \(10^0 = 1\) |
| \(\log_{10} 10\) | 1 | \(10^1 = 10\) |
| \(\log_{10} 100\) | 2 | \(10^2 = 100\) |
| \(\log_{2} 2\) | 1 | \(2^1 = 2\) |
| \(\log_{2} 8\) | 3 | \(2^3 = 8\) |
| \(\log_{3} 9\) | 2 | \(3^2 = 9\) |
| \(\log_{3} 27\) | 3 | \(3^3 = 27\) |
Jak logarytmy zachowują się na wykresie?
Żeby lepiej zrozumieć logarytmy, warto zobaczyć ich wykres. Poniżej znajduje się prosty, responsywny wykres porównujący funkcje:
- \( y = \log_{10} x \) (logarytm dziesiętny),
- \( y = \ln x \) (logarytm naturalny).
Widzisz, że obie funkcje rosną bardzo wolno, zwłaszcza dla dużych \( x \). Dotykają osi poziomej w punkcie \( x = 1 \) (bo \(\log_{a} 1 = 0\)), ale nigdy nie przechodzą na lewo od osi \( x = 0 \) (bo nie ma logarytmu z liczby niedodatniej).
Prosty kalkulator logarytmów (zmiana podstawy)
Poniższy kalkulator pomoże Ci obliczyć \(\log_{a} b\) dla dowolnej dodatniej podstawy \( a \neq 1 \) i dodatniej liczby \( b \). Wykorzystuje on wzór na zmianę podstawy:
\[ \log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a} \]
Wynik: –
Zastosowanie logarytmów w praktyce domowej
Choć logarytmy wydają się czysto „szkolne”, pojawiają się w codziennym życiu częściej niż myślisz:
- Skala głośności (dB) – gdy zwiększasz moc dźwięku wielokrotnie, odczuwasz tylko „kilka decybeli” różnicy, bo skala jest logarytmiczna.
- Skala pH – w chemii domowej (np. przy używaniu środków czystości) pH opisuje kwasowość roztworu logarytmicznie.
- Wzrost i spłata zadłużenia – oprocentowanie składane (odsetki od odsetek) można analizować za pomocą funkcji wykładniczych i logarytmów.
- Charakterystyki urządzeń – w instrukcjach domowego sprzętu (wzmacniacze, anteny) często pojawiają się wartości w dB, czyli w skali logarytmicznej.
Znajomość podstaw logarytmów pomaga lepiej rozumieć te opisy i oceniać, jak naprawdę duża jest „różnica o 3 dB” czy „pH mniejsze o 1 jednostkę”.
Jak uczyć się logarytmów skutecznie?
- Powtarzaj definicję: zawsze możesz wrócić do równoważności \(\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^c = b\).
- Ćwicz zamianę logarytmu na potęgę: zamiast „wkuwać” wszystko, przepisuj równania w obie strony (logarytm ↔ potęga).
- Korzystaj ze wzorów stopniowo: najpierw zapamiętaj 3 kluczowe: iloczyn, iloraz, potęga. Pozostałe łatwiej zrozumieć później.
- Sprawdzaj wyniki przybliżone: jeśli kalkulator pokazuje np. \(\log_{2} 5 \approx 2{,}32\), sprawdź w myślach: \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\) – 5 leży pomiędzy, więc wynik ma sens.
Podsumowując: logarytmy są „odwrotnością” potęgowania. Opanowanie kilku podstawowych wzorów logarytmicznych i przećwiczenie kilkunastu przykładów wystarczy, by swobodnie rozwiązywać typowe zadania i rozumieć, jak logarytmy pojawiają się w opisach z życia codziennego.