Pochodne są jednym z najważniejszych pojęć w analizie matematycznej. Pojawiają się w fizyce, informatyce, ekonomii, a nawet w biologii. W tym artykule w prosty i metodyczny sposób wyjaśnimy, czym jest pochodna, jak ją rozumieć, jakie są podstawowe wzory i zasady obliczania pochodnych oraz jak korzystać z nich w praktyce.
Intuicyjna idea pochodnej
Wyobraź sobie, że jedziesz samochodem i co sekundę odczytujesz swoją pozycję z GPS. Znasz więc przebyta drogę w czasie. Pochodna to „chwilowa prędkość” – mówi, jak szybko zmienia się położenie w danej chwili.
W matematyce mamy funkcję \( f(x) \), która dla każdej wartości \( x \) przyporządkowuje jakąś wartość (np. drogę, temperaturę, zysk). Pochodna \( f'(x) \) mówi nam, jak szybko zmienia się wartość funkcji w zależności od zmiany \( x \).
Pochodna jako granica ilorazu różnicowego
Formalna definicja pochodnej funkcji \( f(x) \) w punkcie \( x_0 \) to:
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h} \]
Ten ułamek nazywamy ilorazem różnicowym.
- Licznik \( f(x_0 + h) – f(x_0) \) to zmiana wartości funkcji.
- Mianownik \( h \) to zmiana argumentu funkcji (np. czasu, położenia na osi).
- Granica dla \( h \to 0 \) oznacza, że patrzymy na „bardzo małe” zmiany.
W praktyce nie liczymy zwykle pochodnych z definicji, tylko korzystamy z wzorów na pochodne i zasad różniczkowania.
Interpretacje pochodnej
Pochodna jako prędkość zmian
Jeżeli \( s(t) \) opisuje drogę przebyta w czasie \( t \), to pochodna:
\[ v(t) = s'(t) \]
jest prędkością w chwili \( t \). Jeżeli:
- \( v(t) > 0 \) – funkcja rośnie (obiekt się „przesuwa do przodu”),
- \( v(t) < 0 \) – funkcja maleje,
- \( v(t) = 0 \) – wartość funkcji się chwilowo nie zmienia (np. maksima, minima).
Pochodna jako nachylenie stycznej
Jeżeli narysujesz wykres funkcji \( y = f(x) \) i w punkcie \( x_0 \) poprowadzisz prostą styczną do wykresu, to:
\[ f'(x_0) = \text{współczynnik kierunkowy tej stycznej} \]
Innymi słowy, pochodna mówi, jak stromo rośnie (lub maleje) wykres funkcji w danym punkcie.
Podstawowe oznaczenia pochodnej
Najczęściej używamy kilku równoważnych oznaczeń pochodnej funkcji \( y = f(x) \):
- \( f'(x) \) – „f prim od x”,
- \( y’ \) – „y prim”,
- \( \frac{df}{dx} \) – pochodna funkcji \( f \) względem zmiennej \( x \),
- \( \frac{dy}{dx} \) – gdy \( y = f(x) \).
Wszystkie te zapisy oznaczają to samo: „pochodną funkcji względem zmiennej \( x \)”.
Podstawowe wzory na pochodne (tabliczka pochodnych)
Przy liczeniu pochodnych często korzysta się z tabeli podstawowych pochodnych. Poniżej przedstawiamy najważniejsze wzory pochodnych elementarnych funkcji.
Pochodne funkcji potęgowych i wielomianów
| Funkcja \( f(x) \) | Pochodna \( f'(x) \) | Uwagi |
|---|---|---|
| \( c \) | \( 0 \) | Stała ma pochodną równą 0 |
| \( x \) | \( 1 \) | Pochodna funkcji liniowej \( x \) |
| \( x^n \) | \( n x^{n-1} \) | \( n \) – dowolna liczba rzeczywista |
| \( a x^n \) | \( a n x^{n-1} \) | \( a \) – stała (liczba) |
| \( x^{-1} = \frac{1}{x} \) | \( -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \) | Przykład potęgi ujemnej |
W szczególności:
- \( (x^2)’ = 2x \),
- \( (x^3)’ = 3x^2 \),
- \( (x^4)’ = 4x^3 \),
- \( (\sqrt{x})’ = \left(x^{1/2}\right)’ = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) dla \( x > 0 \).
Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych
| Funkcja \( f(x) \) | Pochodna \( f'(x) \) |
|---|---|
| \( e^x \) | \( e^x \) |
| \( a^x \) | \( a^x \ln a \), \( a > 0, a \neq 1 \) |
| \( \ln x \) | \( \frac{1}{x} \), \( x > 0 \) |
| \( \log_a x \) | \( \frac{1}{x \ln a} \), \( x > 0, a > 0, a \neq 1 \) |
Pochodne funkcji trygonometrycznych
| Funkcja \( f(x) \) | Pochodna \( f'(x) \) |
|---|---|
| \( \sin x \) | \( \cos x \) |
| \( \cos x \) | \( -\sin x \) |
| \( \tan x \) | \( \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \) |
| \( \cot x \) | \( -\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \) |
Najważniejsze zasady różniczkowania
Same wzory na pochodne elementarne funkcji to dopiero początek. Aby policzyć pochodną bardziej złożonej funkcji, korzystamy z ogólnych zasad różniczkowania.
Zasada 1: pochodna sumy i różnicy
Jeżeli \( f(x) \) i \( g(x) \) są różniczkowalne, to:
\[ (f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x) \]
\[ (f(x) – g(x))’ = f'(x) – g'(x) \]
Innymi słowy: pochodną sumy liczymy, sumując pochodne składników.
Przykład:
Niech \( f(x) = x^2 + 3x – 5 \). Wtedy:
\[ f'(x) = (x^2)’ + (3x)’ – (5)’ = 2x + 3 – 0 = 2x + 3. \]
Zasada 2: pochodna iloczynu (reguła iloczynu)
Jeżeli \( f(x) \) i \( g(x) \) są różniczkowalne, to:
\[ (f(x)g(x))’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x). \]
W skrócie: „pochodna iloczynu = pochodna pierwszego razy drugi + pierwszy razy pochodna drugiego”.
Przykład:
Niech \( f(x) = x^2 \), \( g(x) = \sin x \). Policzymy pochodną iloczynu:
\[ h(x) = x^2 \sin x. \]
Wtedy:
\[ h'(x) = (x^2)’\sin x + x^2 (\sin x)’ = 2x \sin x + x^2 \cos x. \]
Zasada 3: pochodna ilorazu (reguła ilorazu)
Jeżeli \( f(x) \) i \( g(x) \) są różniczkowalne oraz \( g(x) \neq 0 \), to:
\[ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’ = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}. \]
W skrócie: „pochodna ilorazu = (pochodna licznika × mianownik − licznik × pochodna mianownika) / (mianownik)\(^2\)”.
Przykład:
Niech \( f(x) = x^2 \), \( g(x) = x+1 \). Rozważmy:
\[ h(x) = \frac{x^2}{x+1}. \]
Wtedy:
\[ h'(x) = \frac{(x^2)'(x+1) – x^2 (x+1)’}{(x+1)^2} = \frac{2x(x+1) – x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x – x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}. \]
Zasada 4: pochodna funkcji złożonej (reguła łańcuchowa)
Bardzo ważna zasada: jeżeli funkcja \( y \) jest złożeniem dwóch funkcji, np.
\[ y = f(g(x)), \]
to jej pochodna wynosi:
\[ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x). \]
Czyli: różniczkujemy „zewnętrzną” funkcję, zostawiając „wewnętrzny” argument bez zmian, a potem mnożymy przez pochodną argumentu.
Przykład 1:
\( y = \sin(x^2) \). Tutaj:
- funkcja zewnętrzna: \( f(u) = \sin u \),
- funkcja wewnętrzna: \( g(x) = x^2 \), więc \( g'(x) = 2x \).
Najpierw różniczkujemy zewnętrzną: \( f'(u) = \cos u \), więc:
\[ y’ = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2). \]
Przykład 2:
\( y = \sqrt{3x+1} = (3x+1)^{1/2} \).
- Zewnętrzna: \( f(u) = u^{1/2} \Rightarrow f'(u) = \frac{1}{2}u^{-1/2} \),
- Wewnętrzna: \( g(x) = 3x+1 \Rightarrow g'(x) = 3 \).
\[ y’ = \frac{1}{2}(3x+1)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}. \]
Zasada 5: pochodna stałej razy funkcji
Jeżeli \( c \) jest stałą, a \( f(x) \) jest różniczkowalna, to:
\[ (c \cdot f(x))’ = c \cdot f'(x). \]
Stałą po prostu „przepisujemy” przed pochodną.
Przykład:
\[ (5x^3)’ = 5 \cdot (x^3)’ = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2. \]
Przykłady krok po kroku – jak obliczać pochodne
Przykład 1: prosty wielomian
Oblicz pochodną funkcji:
\[ f(x) = 2x^3 – 5x^2 + 7x – 4. \]
Rozwiązanie krok po kroku:
- Rozdzielamy na sumę czterech funkcji: \( 2x^3 \), \( -5x^2 \), \( 7x \), \( -4 \).
- Liczymy pochodne składników:
- \( (2x^3)’ = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2 \),
- \( (-5x^2)’ = -5 \cdot 2x = -10x \),
- \( (7x)’ = 7 \cdot 1 = 7 \),
- \( (-4)’ = 0 \).
- Dodajemy wyniki:
\[ f'(x) = 6x^2 – 10x + 7. \]
Przykład 2: iloczyn funkcji wielomianowej i trygonometrycznej
Oblicz pochodną funkcji:
\[ f(x) = (x^2 + 1)\cos x. \]
To iloczyn dwóch funkcji: \( f_1(x) = x^2 + 1 \) oraz \( f_2(x) = \cos x \).
Stosujemy regułę iloczynu:
\[ f'(x) = f_1′(x)\cdot f_2(x) + f_1(x)\cdot f_2′(x). \]
- \( f_1′(x) = (x^2 + 1)’ = 2x + 0 = 2x \),
- \( f_2′(x) = (\cos x)’ = -\sin x \).
Podstawiamy:
\[ f'(x) = 2x \cos x + (x^2+1)(-\sin x) = 2x\cos x – (x^2+1)\sin x. \]
Przykład 3: funkcja złożona z pierwiastkiem
Oblicz pochodną funkcji:
\[ f(x) = \sqrt{2x – 3}. \]
Zapiszmy ją jako:
\[ f(x) = (2x – 3)^{1/2}. \]
Użyjemy reguły łańcuchowej.
- Zewnętrzna: \( F(u) = u^{1/2} \Rightarrow F'(u) = \frac{1}{2}u^{-1/2} \),
- Wewnętrzna: \( g(x) = 2x – 3 \Rightarrow g'(x) = 2 \).
Zatem:
\[ f'(x) = F'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2}(2x-3)^{-1/2} \cdot 2 = (2x-3)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2x-3}}. \]
Przykład 4: logarytm funkcji
Oblicz pochodną funkcji:
\[ f(x) = \ln(3x^2 + 1). \]
Znów funkcja złożona:
- Zewnętrzna: \( F(u) = \ln u \Rightarrow F'(u) = \frac{1}{u} \),
- Wewnętrzna: \( g(x) = 3x^2 + 1 \Rightarrow g'(x) = 6x \).
Zatem:
\[ f'(x) = \frac{1}{3x^2 + 1} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 + 1}. \]
Prosty kalkulator pochodnej funkcji potęgowej
Aby ułatwić naukę, poniżej znajduje się prosty kalkulator, który liczy pochodną funkcji postaci:
\[ f(x) = a x^n \]
w wybranym punkcie \( x_0 \). Wiemy, że:
\[ f'(x) = a n x^{n-1}, \]
więc:
\[ f'(x_0) = a n x_0^{n-1}. \]
Kalkulator pochodnej funkcji \( f(x) = a x^n \) w punkcie \( x_0 \)
Wynik: —
Wykres funkcji i jej pochodnej – wizualizacja
Aby lepiej zrozumieć sens pochodnej, zobaczmy na prostym przykładzie funkcję:
\[ f(x) = x^2 \]
Jej pochodna to:
\[ f'(x) = 2x. \]
Poniższy wykres (responsywny, oparty na Canvas i Chart.js) pokazuje obie funkcje na tym samym przedziale. Możesz zauważyć, że:
- dla \( x > 0 \) pochodna \( 2x \) jest dodatnia – funkcja \( x^2 \) rośnie,
- dla \( x < 0 \) pochodna jest ujemna – funkcja \( x^2 \) maleje,
- w punkcie \( x = 0 \) pochodna jest równa 0 – funkcja ma minimum (punkt „płaski”).
Dlaczego pochodne są ważne?
- Analiza przebiegu funkcji – badanie, gdzie funkcja rośnie, maleje, ma ekstrema (maksima i minima), punkty przegięcia.
- Fizyka – prędkość i przyspieszenie to pochodne położenia po czasie.
- Ekonomia – marginalne koszty, marginalne przychody to właśnie pochodne odpowiednich funkcji.
- Informatyka / uczenie maszynowe – algorytmy optymalizacji (np. spadek gradientowy) opierają się na pochodnych funkcji błędu.
Podsumowanie – najważniejsze zasady obliczania pochodnych
- Zapamiętaj podstawowe wzory na pochodne najważniejszych funkcji (potęgi, wielomiany, wykładnicze, logarytmy, trygonometryczne).
- Stosuj zasady różniczkowania: suma/różnica, iloczyn, iloraz, funkcja złożona, stała razy funkcja.
- Rozkładaj złożone wyrażenia na prostsze elementy i różniczkuj je krok po kroku.
- Interpretuj pochodną jako szybkość zmian i nachylenie stycznej – to pomaga zrozumieć wyniki, a nie tylko je obliczać.
Po opanowaniu tych podstaw będziesz mógł przejść do bardziej zaawansowanych zagadnień, takich jak badanie przebiegu funkcji, obliczanie ekstremów czy zastosowania pochodnych w różnych dziedzinach nauki.