W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest delta w matematyce, jak wygląda wzór na deltę, jak obliczać deltę oraz jak z jej pomocą znaleźć pierwiastki równania kwadratowego. Po przeczytaniu będziesz umieć samodzielnie rozwiązywać proste równania kwadratowe metodą delty.
Równanie kwadratowe – przypomnienie
Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci
\( ax^2 + bx + c = 0 \), gdzie \( a \neq 0 \).
Litery \( a, b, c \) to współczynniki równania kwadratowego, a \( x \) to niewiadoma. Przykłady równań kwadratowych:
- \( 2x^2 + 3x – 5 = 0 \) – tutaj \( a = 2, b = 3, c = -5 \),
- \( x^2 – 4x + 4 = 0 \) – tutaj \( a = 1, b = -4, c = 4 \),
- \( -3x^2 + 6x + 1 = 0 \) – tutaj \( a = -3, b = 6, c = 1 \).
Uwaga: jeśli przy \( x^2 \) nie ma liczby, to domyślnie jest tam \( 1 \), czyli np. \( x^2 = 1x^2 \).
Co to jest delta w matematyce?
Delta (oznaczana grecką literą \( \Delta \)) to tzw. wyróżnik równania kwadratowego. Jest to liczba, którą obliczamy z wzoru:
\[ \Delta = b^2 – 4ac. \]
Delta mówi nam, ile pierwiastków (rozwiązań) ma równanie kwadratowe oraz jak je obliczyć.
Wzór na deltę – jak obliczyć deltę krok po kroku?
Załóżmy, że mamy równanie kwadratowe
\( ax^2 + bx + c = 0 \).
Kroki obliczania delty:
- Odczytaj współczynniki \( a, b, c \) z równania.
- Podstaw je do wzoru na deltę: \(\Delta = b^2 – 4ac\).
- Wykonaj działania (potęgowanie, mnożenie, odejmowanie).
Przykład 1: Obliczanie delty
Równanie: \( 2x^2 + 3x – 5 = 0 \).
Krok 1. Odczytujemy współczynniki:
- \( a = 2 \),
- \( b = 3 \),
- \( c = -5 \).
Krok 2. Podstawiamy do wzoru:
\[ \Delta = b^2 – 4ac = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5). \]
Krok 3. Obliczamy:
\[
\begin{aligned}
\Delta &= 9 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) \\
&= 9 – 8 \cdot (-5) \\
&= 9 – (-40) \\
&= 9 + 40 \\
&= 49.
\end{aligned}
\]
Otrzymaliśmy \( \Delta = 49 \).
Wzory na pierwiastki równania kwadratowego
Gdy mamy już deltę, możemy obliczyć pierwiastki równania kwadratowego. Wzory na pierwiastki (rozwiązania) wyglądają tak:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.
\]
Znaczenie symboli:
- \( x_1 \) – pierwszy pierwiastek,
- \( x_2 \) – drugi pierwiastek,
- \( \sqrt{\Delta} \) – pierwiastek kwadratowy z delty,
- znak \( \pm \) oznacza „plus lub minus”, więc faktycznie są to dwa osobne wzory:
\[
x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.
\]
Różne przypadki delty – ile jest pierwiastków?
Znak delty (czyli to, czy jest dodatnia, równa zero czy ujemna) decyduje o liczbie rozwiązań równania kwadratowego.
| Znak delty | Co to oznacza? | Liczba pierwiastków rzeczywistych | Opis |
|---|---|---|---|
| \( \Delta > 0 \) | Delta dodatnia | 2 | Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste: \(x_1\) i \(x_2\). |
| \( \Delta = 0 \) | Delta równa zero | 1 | Równanie ma jeden pierwiastek (podwójny): \(x_0\). |
| \( \Delta < 0 \) | Delta ujemna | 0 | Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma tylko zespolone). |
Wzory na pierwiastki w zależności od delty
- Jeśli \( \Delta > 0 \), to:
\[
x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.
\] - Jeśli \( \Delta = 0 \), to:
\[
x_0 = \frac{-b}{2a}.
\] - Jeśli \( \Delta < 0 \), to równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Przykład 2: Delta dodatnia – dwa pierwiastki
Równanie: \( 2x^2 + 3x – 5 = 0 \) (kontynuujemy przykład 1).
Wiemy już, że \( \Delta = 49 \), czyli \( \Delta > 0 \) – będą dwa pierwiastki.
Krok 1. Obliczamy pierwiastek z delty:
\[
\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7.
\]
Krok 2. Podstawiamy do wzorów na pierwiastki:
\[
x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 – 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2},
\]
\[
x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1.
\]
Odpowiedź: równanie \( 2x^2 + 3x – 5 = 0 \) ma dwa pierwiastki:
\[
x_1 = -\frac{5}{2}, \quad x_2 = 1.
\]
Przykład 3: Delta równa zero – jeden pierwiastek
Równanie: \( x^2 – 4x + 4 = 0 \).
Krok 1. Odczytujemy współczynniki:
- \( a = 1 \),
- \( b = -4 \),
- \( c = 4 \).
Krok 2. Obliczamy deltę:
\[
\Delta = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0.
\]
Delta jest równa 0, więc będzie jeden pierwiastek.
Krok 3. Używamy wzoru dla \( \Delta = 0 \):
\[
x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2.
\]
Odpowiedź: równanie \( x^2 – 4x + 4 = 0 \) ma jeden pierwiastek (podwójny) \( x_0 = 2 \).
Przykład 4: Delta ujemna – brak pierwiastków rzeczywistych
Równanie: \( x^2 + 2x + 5 = 0 \).
Krok 1. Współczynniki:
- \( a = 1 \),
- \( b = 2 \),
- \( c = 5 \).
Krok 2. Obliczamy deltę:
\[
\Delta = b^2 – 4ac = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 – 20 = -16.
\]
Delta jest ujemna (\( \Delta < 0 \)), więc brak pierwiastków rzeczywistych. Oznacza to, że wykres paraboli nie przecina osi OX.
Kalkulator delty i pierwiastków równania kwadratowego
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pozwoli Ci automatycznie obliczyć deltę i pierwiastki równania kwadratowego \( ax^2 + bx + c = 0 \). Wpisz współczynniki \( a, b, c \) i naciśnij przycisk.
Prosty wykres funkcji kwadratowej
Aby lepiej zrozumieć, co robi delta, warto popatrzeć na wykres funkcji kwadratowej. Poniżej widzisz wykres funkcji \( y = x^2 – 1 \). To jest funkcja, której równanie kwadratowe ma deltę większą od zera (ma dwa pierwiastki – miejsca, w których wykres przecina oś OX).
Na ekranach telefonów wykres automatycznie dopasuje się szerokością do ekranu, dzięki czemu nadal jest czytelny.
Jak samodzielnie stosować wzór na deltę? – podsumowanie krok po kroku
- Zapisz równanie w postaci ogólnej: \( ax^2 + bx + c = 0 \).
- Odczytaj współczynniki \( a, b, c \).
- Oblicz deltę ze wzoru:
\[
\Delta = b^2 – 4ac.
\] - Sprawdź znak delty:
- Jeśli \( \Delta > 0 \): dwa pierwiastki – użyj wzorów:
\[
x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.
\] - Jeśli \( \Delta = 0 \): jeden pierwiastek – użyj wzoru:
\[
x_0 = \frac{-b}{2a}.
\] - Jeśli \( \Delta < 0 \): brak pierwiastków rzeczywistych.
- Jeśli \( \Delta > 0 \): dwa pierwiastki – użyj wzorów:
- Wykonaj działania (pierwiastkowanie, dzielenie) i zapisz odpowiedź.
Znajomość wzoru na deltę i umiejętność jego zastosowania to jedna z podstawowych umiejętności w matematyce na poziomie szkoły podstawowej i średniej. Dzięki niej możesz rozwiązać większość zadań z równaniami kwadratowymi.